中心とばらつきを読む

1集計して分布を見る

度数分布表は、値を区間に分けて各区間の件数を数えた表です。ヒストグラムでは、その分布を隣り合う柱で表します。ここでは区間の幅を等しくそろえ、柱の高さを度数にします。例えば0以上20未満、20以上40未満、40以上60未満に分けると、境界の20は二番目の区間に一度だけ数えます。

区間の幅や境界を変えると分布の見え方も変わります。別の集団と比べる際は区間の条件をそろえます。幅が異なる区間を使うヒストグラムでは、単に高さを件数にすると広い区間が過大に見えるため、面積と度数の関係にも注意が必要です。

項目別の件数を比べる棒グラフと異なり、ヒストグラムの横軸は数値の区間を表します。

2平均・中央値・最頻値

平均値は合計÷個数。中央値（メジアン）は小さい順に並べた中央で、偶数個なら中央2個の平均。最頻値（モード）は最も多く現れる値です。

例：10、20、20、30、120の平均は200÷5＝40、中央値は3番目の20、最頻値も20。120のような大きな値は平均を押し上げます。9個なら中央値は5番目で、合計2700なら平均300。平均から中央値を逆算はできません。

3ばらつきを数にする

分散は平均との差を2乗して平均したものです。ここでは全データを対象に個数で割ります。2、4、6なら平均4。差は−2、0、2、2乗は4、0、4なので分散8/3。標準偏差は分散の平方根で約1.63です。

2乗すると負の差と正の差が打ち消し合いません。標準偏差は元の値と同じ単位なので大きさを解釈しやすく、同じ平均でも値が散らばるほど一般に大きくなります。標本から母分散を推定するときは個数−1で割る不偏分散もあります。

4偏差値は平均との差をそろえて比べる

偏差値＝50＋10×(得点−平均点)÷標準偏差です。平均点なら50、平均より標準偏差一つ分高ければ60です。

得点71、平均58、標準偏差6なら、差13→13÷6≒2.17→50＋21.7≒71.7。別教科で同じ71点でも平均62、標準偏差5なら68です。2023年度問77ではほかに社会が(71−55)÷9≒1.78、理科が(71−60)÷7≒1.57です。

数学の約2.17が最大なので、同じ50＋10倍で作る偏差値も数学が最大です。点数そのものではなく、平均との差をばらつきで割って比べます。標準偏差0ではこの式は使えません。